개체수 관련 문제 오류로 논란이 되었던, 2022학년도 대학수학능력시험 20번 '집단유전' 문제를 풀어보자.

일단 보기를 해결하는데 꼭 필요한 정보만 찾고 발문에 제시된 조건만 만족하도록 찾는다면 답은 나오는데, 문제는 생명과학II 문제는 모순을 찾아 쳐내는 과목이라는 점이다.
발문과 어긋나거나 상식적으로 말이 안되는 경우를 쳐내고 모든 조건이 맞는 단 한 가지의 결론을 찾아 보기를 해결하는 것이 생명과학II인데 모든 경우에 대해 모순이 나와버린 것이다.

특히나 20번, 집단유전 문제고 난이도가 높아서 더더욱 여파가 컸을 것이라 예상된다.

한 번 평가원의 의도대로 풀어보고, 뭐가 오류였는지까지 살펴보도록 하자.

전체적인 풀이 과정

1. 1~4번 조건, 7번 조건을 확인한다.
2. 5번 조건으로부터 $I$가 멘델집단일 경우의 $A$ 및 $A'$빈도를, $II$가 멘델집단일 경우의 $A$ 및 $A'$ 빈도를 구한다.
3. 2번 과정의 두 경우 각각에서 $B$ 가 $B'$ 에 대해 완전 우성인 경우, $B'$ 가 $B$ 에 대해 완전 우성인 경우의 $B$ 빈도를 계산해 7번 조건에 맞는 조합을 찾는다.
   이 과정에서 몸 색을 결정하는 유전자의 우열관계, $I$, $II$ 각각의 하디-바인베르크 평형 유지 여부, $I$, $II$에서 $A$, $B$의 빈도가 도출된다.
4. 보기를 해결한다.
   1. ㄴ 보기는 비율로 따져야한다.
   2. ㄷ 보기는 빈도를 사용하여 약분하는 보기다.

자세하게 살펴보자

발문을 확인하자

• $I$과 $II$ 중 하나만 멘델집단.
• $A$는 $A'$에 대해 완전 우성.
• $I=II$,$\enspace$ $B_I = B_{II}$,$\enspace$ $A_I = A_{II}$,$\enspace$ $B_I < B'_I$,$\enspace$ $B_{II} < B'_{II}$

I과 II 각각이 멘델집단일 때 A의 빈도

크게 두 가지 길로 나뉜다. $I$가 멘델집단일 경우와 $II$가 멘델집단일 경우다.
각각에 대해, 5번 조건으로부터 A의 빈도를 구해보자.
일단 5번 조건의 식은 정리하면 다음과 같아진다:

따라서,

• $I$이 몐델집단인 경우 $$\frac {2-A} {1+A} = \frac 3 4,\enspace A = \frac 5 7,\enspace A' = \frac 2 7$$
• $II$가 멘델집단인 경우 $$\frac {2-A} {1+A} = \frac 2 3,\enspace A = \frac 4 5,\enspace A' = \frac 1 5$$

I과 II 각각이 멘델집단일 때, B와 B'의 우열에 따른 B의 빈도

각각에 대해 2가지로, 총 4가지의 경우를 계산해야한다.

• $I$가 멘델집단인 경우 우선 6번째 조건의 '검은색 몸 개체수' 는 멘델집단이므로 비율로 계산하여 $\frac {45} {49}$ 로 계산한다.
  • $B$가 $B'$에 대해 완전 우성인 경우
    짧은 날개가 열성이므로 짧은 날개 개체 수(비율)은 $(1-B)^2$가 된다.
    따라서 $(1-B)^2 = \frac 8 9 \times \frac {45} {49}$ 이며, $B' = \frac {\sqrt{40}} 7$ 이 된다.
    그러나 이 경우 $B < B'$ 이기 때문에 7번째 조건에 위배된다.
  • $B'$가 $B$에 대해 완전 우성인 경우
    짧은 날개가 우성이므로 짧은 날개 개체 수(비율)은 $B(2-B)$ 가 된다.
    따라서 $B(2-B) = \frac 8 9 \times \frac {45} {49}$ 이며, 식을 정리하여 인수분해하면 $B = \frac 3 7$ 이 된다.
    그러나 이 경우도 $B < B'$ 이기 때문에 7번째 조건에 위배된다.
  따라서 $II$ 가 멘델집단이다.

그러므로 $II$ 가 멘델집단임을 상정하고, 6번째 조건의 '검은색 몸 개체수' 를 비율로 계산하여 $\frac {24} {25}$ 로 계산한다.

• $B$가 $B'$에 대해 완전 우성인 경우
  짧은 날개가 열성이므로 짧은 날개 개체 수(비율)은 $(1-B)^2$가 된다.
  따라서 $(1-B)^2 = \frac 3 8 \times \frac {24} {25}$ 이며, $B = \frac 2 5$ 이 된다.
  그러나 이 경우 $B < B'$ 이기 때문에 7번째 조건에 위배된다.
• $B'$가 $B$에 대해 완전 우성인 경우
  짧은 날개가 우성이므로 짧은 날개 개체 수(비율)은 $B(2-B)$ 가 된다.
  따라서 $B(2-B) = \frac 3 8 \times \frac {24} {25}$ 이며, 식을 정리하여 인수분해하면 $B = \frac 4 5$ 이 된다.
  이 경우 $B > B'$이고 다른 발문 상의 위배되는 조건이 없으므로^[1] 이 경우가 맞는 경우이다.

결론적으로, $II$가 멘델집단이고, $A$ 및 $B'$ 이 각각 $A'$ 및 $B$에 대해 완전우성이며,

가 성립한다. 이때 $I$과 $II$에서 모든 빈도가 동일하다(발문 제시).

보기를 보자

• ㄱ은 우열관계를 묻는 보기로, $B'$이 우성이며 $B'$은 짧은 날개 유전자이므로 $BB'$은 짧은 날개가 맞다. (O)
• ㄴ보기는 전체 개체 수를 알 수 없지만 두 집단의 전체 개체 수가 같으므로, 비율로 계산한다.
  먼저 멘델집단인 $II$에 대해, $AA : AA' : A'A' = 16 : 8 : 1$ 이다.
  $I$는 일반집단이므로 대립유전자의 빈도를 구하는 공식과 다섯 번째 조건을 통해 연립하여 계산해야한다.
  $I$에서 $A = \frac 4 5,\enspace A' = \frac 1 5$ 이므로, 다음 두 식(1, 2)이 성립한다: $$\frac {2AA+AA'} {100} = \frac 4 5\\\ \\\ \frac {2A'A'+AA'} {100} = \frac 1 5$$ 두 식을 정리하여 연립하면 다음 식이 나온다(3): $$AA = 30 + AA'$$ 다섯 번째 조건을 통해, 다음 식이 성립한다: $$\frac {\frac {20} {AA'+A'A'}} {\frac {80} {AA+AA'}} = \frac 3 4$$ 위 식을 정리하고, (3)의 식을 대입하여 다시 한 번 정리하면 다음 식(4)이 나오는데, $$AA'+A'A'=15$$ (4)를 (2)와 연립하여 다음 개체수 비율을 구할 수 있다: $$AA=35,\enspace AA'=10,\enspace A'A'=5$$ 이를 단순한 실제 개체 수로 보고, 총 50마리의 개체 수가 있다고 가정하여 $II$의 개체수도 50마리라고 맞춰주면 $II$에서 $A'A'=2$가 된다. 따라서 $I$에서 $A'A'=5$ 이고 $II$에서 $A'A'=2$ 이므로 $I$이 더 많다(O).
• ㄷ 보기도 개체 수를 묻고있지만 멘델집단에서의 수를 묻고있으므로 비율로 계산이 가능하다. $$\frac {B'^2} {2A^2 + 2A(1-A)} = \frac {B'^2} {2A} = \frac {\frac {16} {15}} {\frac 8 5} = \frac 2 5$$ 이므로 맞는 보기이다(O).

그러므로 답은 ㄱ, ㄴ, ㄷ인 5번인 것으로 평가원은 의도했을 것이다.

그럼 뭐가 문제인가?

위에 [1]로 표시한 부분에서, 모든 생길 수 있는 가짓수 중 발문에 위배되는 조건이 없는 것을 찾아 맞는 경우로 상정했다.
그런데 정말 그 경우가 맞는 경우일까?

생명과학II에서 집단유전 등의 킬러 문제 대부분은 여러 가짓수들 중에서 발문에 위배되거나 상식적으로 일어날 수 없는 경우 (개체수가 정수가 아니거나, 빈도가 음수이거나, 개체수가 음수이거나 등)를 제외하고 단하나의 모든 조건을 만족하는 경우를 가지고 보기를 해결하는 과목이다.

그러면, 위에서 맞는 경우로 상정했던 케이스로 $I$ 집단에서 $B'B'$ 유전자형을 가지는 개체의 수를 구해보자.
전체 개체수 50에 검은색 몸 개체수는 위의 ㄴ 보기를 해결하며 확인했던 45로 잡고, 다음 식을 정리한다:

각각 6번째 조건에 제시된 값과 개체수를 통해 빈도를 도출하는 식이다.
정리하면

이 된다. 그래서 두 식을 위에서 아래로 빼면?

어라...? $B'B'$ 유전자형을 가지는 개체수가 음수이다!
그러면 사실상 이 경우도 모순이 발생해서, 상정할 수 있는 모든 4가지 경우가 전부 모순이 발생하여 결국 문제를 풀 수 있는 맞는 경우가 하나도 없다는 결론이 된다.

그래서 복수정답도 아니고 아예 정답이 없는, '모두정답' 으로 처리된 것이다.

후기

정신나간 문제다. 가짓수가 4가지나 되는 주제에 보기에다가도 정신나간 계산을 넣어놨다.
이건 더이상 생명과학II가 아니라 수학II 나 연립방정식 풀이라고 해도 될 수준이다.
게다가 모두정답으로 처리가 되었기 때문에, 시험장에서 이 문제에 시간을 할애한 수험생분들은 피해를 입은 것이나 다름이 없다.

평가원이 이런 오류가 있는 문제를 냈다는 것에 유감이고, 앞으로는 이런 일이 없으면 좋겠다...